臺指選擇權波動率指數

臺指選擇權波動率指數

問題一：何謂臺指選擇權波動率指數?

所謂波動率指數(VIX，Volatility Index) 為美國芝加哥選擇權交易所(CBOE)於1993年所推出，其利用S&P 100股價指數選擇權市價反推算而得的隱含波動率計算得之，目的係藉由當時市場對未來股票市場波動率的看法，提供選擇權交易人更多元化的資訊，作為交易及避險操作策略之參考。在指數編製10年後，CBOE於2003年9月22日以更為先進且公式較為精簡之計算方式推出新的VIX指數，對未來的市場預期提供一個更為堅實的衡量方法。一般而言，VIX指數愈高時，顯示交易人預期未來股價指數的波動程度愈劇烈；相反地，當VIX指數愈低時，顯示交易人預期股價指數變動將趨於和緩。由於該指數具有描述投資人心理的變化情形，故又稱為「投資人恐慌指標(The investor fear gauge)」。

而臺指選擇權波動率指數即是藉由CBOE編製VIX指數的方法，針對臺灣選擇權市場的交易活動，編製一套合適的波動率指數，以期正確地描繪當時市場上價格的波動情形，提供選擇權交易人更多的資訊內容，協助其判斷市場的狀況與擬定合宜的交易決策。

問題二：何謂CBOE 新VIX指數編製公式?

CBOE於2003年9月22日推出新的VIX指數，不只使用價平的選擇權契約，而是利用一連串不同履約價格的指數選擇權來計算預期波動率。此外，新的VIX指數並不是從Black –Scholes選擇權評價模式計算而來的，其計算方式與其他選擇權評價模型無關，而是藉由加權平均價外買、賣權權利金計算得之。

有關CBOE 新VIX指數編製公式，茲列如下：

σ= VIX / 100 è VIX = 100 × σ

其中

T ：存續期間（日曆日，以分計算）

F ：從選擇權價格所推出的預期指數

：第i個價外選擇權的履約價格，當>F時取用買權，當<F時取用賣權

：履約價格的間距，等於之上下履約價格差距的一半

註：對於最低履約價格來說，僅是最低履約價格與次低履約價格之差；對最高履約價格來說則是最高履約價格與次高履約價格之差。

：低於預期指數F的第一個履約價格

R：存續期間的無風險利率

：每個履約價選擇權的買賣價差之中點

新的VIX指數係使用最近到期日的兩個月份之買權與賣權，用以擬合30天的日曆日的選擇權，然而，當距離到期日只剩下8天時，新的VIX指數會改採次近月與第2個次近月契約，以降低接近到期日時可能發生的價格異常情形。

CBOE計算VIX時間為芝加哥早上8:30，新的VIX指數計算存續期間T是以分鐘為計算單位而非以日為計算單位，距到期日的時間可表達為

/Minutes in a Year

其中

：當日距離午夜所剩的分鐘數

：從午夜到SPX清算日早上8點的分鐘數

：當日與到期日之間的總分鐘數

今以S&P500選擇權近月及次近月報價資料為例，說明其完整的計算步驟如下（假設無風險利率為1.162%）：

步驟一：選擇計算VIX指數之契約

（一）計算預期指數F

以價平選擇權價格來決定預期指數F，價平的履約價格為買權權利金與賣權權利金差距最小的履約價格，以下表為例，履約價格為900的近月與次近月S＆P500買權價格與賣權價格差距最小。

計算預期指數的公式

使用履約價格為900的近月與次月契約，則近月預期指數F₁與次近月F₂預期指數分別為：

F₁=900+e⁽^{0.01162×0.041095890)}× (18.41-17.98)=900.43

F2=900+ e⁽^{0.01162×0.117808219)}×(31.40-30.17)=901.23

（二）決定K₀，其為低於預期指數F的履約價格，在此例子中，近月與次近月均為K₀=900。

（三）依遞增方式排序所有的履約價格，選取履約價格大於K₀且買價(Bid Price)不為零的買權契約，若之後遇到連續兩個買價為零的買權契約時，則不再選取任何其他買權契約；其次，選取履約價格小於K₀且買價不為零的賣權契約，若之後遇到連續兩個買價為零的賣權契約時，則不再選取任何其他賣權契約。選取履約價格均為K₀的買權與賣權契約，然後再對每個選擇權的買價與賣價作平均。因此，

履約價格900的近月買權與賣權契約價格的平均值(18.41+17.98)/2=18.19履約價格900的次近月買權與賣權契約價格的平均值(31.40+30.17)/2=30.78

步驟二：計算近月與次近月選擇權之波動率

（一）首先，計算近月與次近月契約距離到期日的時間，分別以T₁與T₂來表示：

T₁=(930+510+20,160)/525,600=0.041095890

T₂=(930+510+60,480)/525,600=0.117808219

（二）將 T₁與T₂帶入CBOE 新VIX指數編製公式，亦即

以履約價格775的賣權契約為例，其對VIX指數的貢獻為

為上下履約價格距離的一半，但是當選擇權位於最上緣和最下緣時，為與鄰近之履約價格之差，以上面例子來看，775為近月份契約中最低履約價格，800則為鄰近之履約價格，因此

=(800-775)＝25

以相同的方式計算每個選擇權契約，將所有近月份契約的值加總後乘上，將所有次近月份契約的值加總後乘上，下表為所有近月與次近月契約的彙總情形：

（三）計算，則近月及次近月分別為：

（四）計算與，則

步驟三、將與以內插法來撮合存續期間為30天的選擇權波動率

其中

N_T1=近月契約距到期日的分鐘數（21,600）

N_T2=次近月契約距到期日的分鐘數（61,920）

N₃₀=30日內的分鐘數=60*24*30=43,200

N₃₆₅=365日內的分鐘數=60*24*365=525,600

=0.253610

è VIX= 100×σ =25.36(%)

問題三：何謂CBOE 舊VIX指數編製公式?

CBOE於1993年首先推出VIX指數，是由8個近月與次近月且最接近價平的選擇權序列之隱含波動率所構成的，在8個選擇權序列中，分別有4個買權與4個賣權，依到期月份分為近月(Nearby)序列與次近月(Second-nearby)序列，依履約價格選取最接近價平(Near-the-money)的二序列，分為低於現貨指數(S)的履約價格，高於現貨的履約價格，若當時標的現貨的價格恰巧等與某價平序列的履約價格時，則選取價平和略低於現貨的履約價格二序列。